高校数学：三角関数の加法定理・合成公式導出シート

このシートは、三角関数の加法定理や合成公式を導出して確認する教材です。学校においては、この内容を教材、ワークシート、配付資料の作成の場面で活用し、児童生徒・保護者・教職員に必要な情報や判断材料を分かりやすく示します。教職員は、対象者、目的、実施時期、校内手続を確認し、事実と提案を区別して、学校の実態に合う内容へ整えます。

単位円、座標、ベクトルの内積を使い、公式の意味を考えられる構成にします。

この文書の目的と使う場面#

このシートは、高等学校で数学Ⅱの三角関数を学ぶ生徒が、加法定理と合成公式を丸暗記せず、単位円、座標、ベクトルの内積を使って導出するために用います。数学科の教員が、単元の導入、加法定理を扱った後の授業中の確認、定期考査前の復習などで配付します。対象学年は、学校の教育課程に合わせて【高校第○学年】と明記します。

生徒は、図の点の座標、ベクトルの成分、途中式、式から分かることを順に記入します。教員は、全体説明の後に個人またはペアで取り組ませ、最後に解答例と照合します。導出の過程を確認する資料であり、計算結果だけを評価する資料ではありません。実施前に、学習進度、既習事項、授業時間、配付方法を確認します。

保護者向けの説明が必要な場合は、「公式の意味と導出の流れを確認する教材であること」を簡潔に伝えます。教職員間で共有する場合は、使用する教科書の記号、角の表し方、補助角の定義をそろえます。

関連語：学習指導要領、著作権、プロンプト、個人情報

作るときのポイント#

1. 記号と前提を先に示します。
   α、β、x、θの意味、角の範囲、単位円上の点の座標を最初に示します。合成公式では、\(a,b\) が同時に0ではないこと、\(R=\sqrt{a^2+b^2}\) とすることを明記します。

1. 図・式・言葉を対応させます。
   単位円上の点を \(P(\alpha)=(\cos\alpha,\sin\alpha)\) と書き、回転後の座標がどの式に対応するかを示します。図だけに頼らず、「x座標が余弦、y座標が正弦」であることを短く説明します。

1. 導出の空欄は、考える単位で設定します。
   \(\cos(\alpha+\beta)\) と \(\sin(\alpha+\beta)\) の式を一度に空欄にせず、座標の成分、展開、公式の完成の順に分けます。内積を扱う場合は、単位ベクトルの長さと内積の値を確認してから式を書かせます。

1. 合成公式の条件と符号を確認します。
   \(a\sin x+b\cos x=R\sin(x+\theta)\) では、\(\cos\theta=a/R\)、\(\sin\theta=b/R\) と置く理由を示します。\(a\) や \(b\) が負の場合も扱えるよう、補助角の象限を図または言葉で確認します。

1. 印刷・校内利用の確認を行います。
   生徒が途中式を書ける余白を確保し、白黒印刷でも点線、矢印、記号が区別できるようにします。教科書の記述と照合し、図を自作するか利用条件を確認します。解答例は学習支援用とし、AIに採点、合否、評価、個別の支援方針を決めさせません。

関連語：学習指導要領、著作権、プロンプト、個人情報

例文（対象校種に合う架空校の場合）#

架空校「青葉高等学校」で数学科が作成する例です。実施日、担当者、学級名は、校内で確認してから記入します。

# 三角関数の加法定理・合成公式 導出シート

学年・組：【　　　】　氏名：【　　　　　　　　　】　実施日：【　　　　　　】

## 1　今日の目標

・単位円上の点の座標を使って、sin(α＋β)、cos(α＋β)の式を導く。
・係数 a、b と補助角 θ の関係を使って、合成公式を説明する。

## 2　記号の確認

単位円とは、原点を中心とする半径1の円です。
角 t に対応する単位円上の点を P(t) とすると、
P(t)＝(cos t，sin t) です。

α、βは角を表します。必要な範囲は、授業で指定された範囲に従います。
また、R＝√(a²＋b²) とし、(a，b)≠(0，0) とします。

## 3　加法定理の導出

P(α)を角βだけ回転させると、P(α＋β)になります。
回転後のx座標とy座標を考えます。

x座標：
cos(α＋β)
＝ cosα cosβ － sinα 【　　　　】

y座標：
sin(α＋β)
＝ sinα cosβ ＋ cosα 【　　　　】

したがって、

cos(α＋β)＝【　　　　　　　　　　　　　　　】

sin(α＋β)＝【　　　　　　　　　　　　　　　】

上の式で、βを－βに置き換えると、差の公式を確認できます。

cos(α－β)＝【　　　　　　　　　　　　　　　】
sin(α－β)＝【　　　　　　　　　　　　　　　】

## 4　内積による確認

u＝(cosα，sinα)、v＝(cosβ，sinβ)とします。
uとvの長さはともに1です。

u・v
＝ cosα cosβ ＋ sinα sinβ
＝ cos(【　　　　】)

この結果から、内積と角の差の関係を一文で説明します。

【　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　】

## 5　合成公式

R＝√(a²＋b²) とし、補助角θを
cosθ＝a/R、sinθ＝b/R
となるように選びます。

R sin(x＋θ)
＝ R〔sinx cosθ＋cosx sinθ〕
＝ 【　　　】sinx＋【　　　】cosx

したがって、

a sinx＋b cosx＝【　　　　　　　　　　　　　　　】

a＝3、b＝4のとき、Rとsinθ、cosθを求めます。

R＝【　　　】　sinθ＝【　　　】　cosθ＝【　　　】

## 6　振り返り

単位円または内積を使って、公式が成り立つ理由を説明してください。

【　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　】
【　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　】

## 解答例

cos(α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ
sin(α＋β)＝sinα cosβ＋cosα sinβ
cos(α－β)＝cosα cosβ＋sinα sinβ
sin(α－β)＝sinα cosβ－cosα sinβ
u・v＝cos(α－β)
a sinx＋b cosx＝R sin(x＋θ)

a＝3、b＝4のとき、R＝5、sinθ＝4/5、cosθ＝3/5です。

関連語：学習指導要領、著作権、プロンプト、個人情報

良い文章の条件#

• 読み手が明確であること。 高校生が一人で読んでも、単位円上の点、角、係数、補助角の意味と、どの順に記入するかが分かります。必要な用語には短い説明を添えます。
• 学習の順序が見えること。 「目標と記号の確認→単位円による導出→内積による確認→合成公式→振り返り→解答例」の順に並び、説明と課題が混在していません。
• 原資料と一致していること。 使用する教科書、学習指導上の校内計画、数学科の既習事項と照合し、加法定理、差の公式、内積の表現、補助角の定義を確認します。
• 文書固有の誤りがないこと。 \(\sin\) と \(\cos\) の成分、加法定理の符号、\(R=\sqrt{a^2+b^2}\)、\(\cos\theta=a/R\)、\(\sin\theta=b/R\) の対応を点検します。\(a=b=0\) の場合を無条件に扱わないことも確認します。
• 図と記入欄が機能すること。 図の角の向き、座標軸、矢印、点の名称が本文と一致し、白黒印刷でも判別できます。途中式を書く余白があり、空欄が多すぎて推測問題になっていません。
• 校内確認と利用条件が済んでいること。 担当教員が解答を照合し、学年または数学科で実施時期と配付方法を確認します。使用する図や画像は自作または利用条件を確認し、印刷版と画面表示版の両方で崩れを点検します。

関連語：学習指導要領、著作権、プロンプト、個人情報

AIに渡す情報（入力項目のチェックリスト）#

次の項目を整理してから、生成AIに入力します。

• 対象学年と科目名
• 授業の段階。導入、練習、復習など
• 扱う公式の範囲
• 単位円、座標、ベクトルの内積のどれを使うか
• 生徒がすでに学習した内容
• 空欄の数と、記入に必要な語句
• 図を使う場所と、図を自分で描く場所
• 授業時間、用紙の大きさ、片面か両面か
• 解答欄や教員用の解答の要否
• つまずきやすい点と、確認問題の難易度

学校名や担当者名は、必要がなければ入力しません。
生徒の実名、学習評価、成績、個別の配慮情報も入力しません。
必要な場合は「生徒A」「数学に不安のある生徒」などに置き換えます。
図や文章を参考に渡す場合は、著作権を確認した自作資料を使います。

関連語：匿名化、個人情報、著作権、学習指導要領

コピーして使えるプロンプト#

次のプロンプトをコピーし、【 】の部分を置き換えて使います。

高校数学の授業で使うワークシートを作成してください。

対象：【高校第○学年】
単元：【三角関数】
使用場面：【導入・授業中の確認・復習】
学習目標：
1. 【単位円またはベクトルの内積】を使って、加法定理の導出の流れを確認する。
2. 【a sin x + b cos x】の合成公式を、係数と補助角の関係から説明する。

扱う内容：
・sin(α+β)、cos(α+β)の導出
・必要に応じて差の公式の確認
・R sin(x+θ)の展開による合成公式
・最後に短い確認問題【○】問

条件：
・公式の丸暗記にならないよう、図、式、言葉を対応させる。
・導出の重要な箇所を空欄にする。
・単位円上の点やベクトルの意味を簡潔に説明する。
・記号の定義と角の範囲を最初に示す。
・生徒が途中式を書ける十分な余白を設ける。
・解答例を別に示すが、判断や評価をAIに委ねない。
・高校生に分かる日本語で、1文を短くする。
・Markdownで、見出し、表、記入欄を使って出力する。

出力順：
1. タイトル
2. 学習目標
3. 導出に使う図と記号の説明
4. 加法定理の導出欄
5. 合成公式の確認欄
6. 振り返り
7. 解答例


【この文書に必要な良い文章の条件】
- **読み手が明確であること。** 高校生が一人で読んでも、単位円上の点、角、係数、補助角の意味と、どの順に記入するかが分かります。必要な用語には短い説明を添えます。
- **学習の順序が見えること。** 「目標と記号の確認→単位円による導出→内積による確認→合成公式→振り返り→解答例」の順に並び、説明と課題が混在していません。
- **原資料と一致していること。** 使用する教科書、学習指導上の校内計画、数学科の既習事項と照合し、加法定理、差の公式、内積の表現、補助角の定義を確認します。
- **文書固有の誤りがないこと。** \(\sin\) と \(\cos\) の成分、加法定理の符号、\(R=\sqrt{a^2+b^2}\)、\(\cos\theta=a/R\)、\(\sin\theta=b/R\) の対応を点検します。\(a=b=0\) の場合を無条件に扱わないことも確認します。
- **図と記入欄が機能すること。** 図の角の向き、座標軸、矢印、点の名称が本文と一致し、白黒印刷でも判別できます。途中式を書く余白があり、空欄が多すぎて推測問題になっていません。
- **校内確認と利用条件が済んでいること。** 担当教員が解答を照合し、学年または数学科で実施時期と配付方法を確認します。使用する図や画像は自作または利用条件を確認し、印刷版と画面表示版の両方で崩れを点検します。

関連語：プロンプト、個人情報、著作権、学習指導要領

出力フォーマット#

注意点（個人情報・著作権・確認）#

このシートには、生徒の氏名、成績、診断名、学習上の個別情報を載せません。
配付前の見本やAIへの入力では、「生徒A」などの仮名を使います。
個別の支援が必要な場合も、個人を特定できない一般的な条件で指示します。

生成AIの出力には、数式の誤りや符号の誤りが含まれることがあります。
特に、\(\sin(\alpha-\beta)\)と\(\cos(\alpha-\beta)\)の符号を確認します。
内積を使う場合は、ベクトルの向きと角の定義が一致しているか確認します。
合成公式では、\(R\)の値と補助角の条件を実際に展開して確かめます。

図、説明文、問題文を他の教材から取り込む場合は、利用条件を確認します。
出版社の教材や他者の授業資料を、そのままAIに入力しないでください。
出力は教職員が確認し、学習目標、難易度、授業時間に合うよう修正します。
生徒の理解度や評価、成績をAIに決めさせてはいけません。

関連語：個人情報、著作権、学習指導要領、プロンプト

関連する文書#

• 0235 高校数学：指数・対数グラフと大小比較ドリル：高校数学の式変形やグラフを扱う練習教材として関連します。
• 0236 高校数学：ベクトル演算と内積の図形的意味：加法定理の導出に使う内積の考え方を確認できます。
• 0283 高校数学：数列の漸化式解法チャート：公式を手順化し、導出や解法の流れを整理する教材として参考になります。
• 0299 高校数学：整数の性質（ユークリッドの互除法）計算シート：途中式と根拠を記入させる数学ワークシートの例として関連します。

関連語：個人情報、著作権、学習指導要領、プロンプト

参考資料#

• 高等学校学習指導要領（平成30年告示）↗
• 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編↗
• 所属する自治体・学校の教材作成規程・様式