高校数学：整数の性質（ユークリッドの互除法）計算シート

この計算シートは、ユークリッドの互除法を使って最大公約数を求める教材です。学校においては、この内容を教材、ワークシート、配付資料の作成の場面で活用し、児童生徒・保護者・教職員に必要な情報や判断材料を分かりやすく示します。教職員は、対象者、目的、実施時期、校内手続を確認し、事実と提案を区別して、学校の実態に合う内容へ整えます。

不定方程式の特殊解を求めるまでの計算を、段階的に整理できます。

この文書の目的と使う場面#

この計算シートは、高等学校の数学科担当教員が、整数の性質を学ぶ生徒に対して、最大公約数から不定方程式の特殊解までの考え方を段階的に確認させるために使用します。主な対象は【高校第○学年・○組】です。授業での導入、例題後の個人演習、定期考査前の補充学習、欠席した生徒への学習資料、家庭学習用の課題などに活用できます。

生徒は、まず「大きい数＝小さい数×商＋余り」の形でユークリッドの互除法を実行します。次に、最後の0でない余りが最大公約数であることを確認し、計算を逆向きにたどって最大公約数を二つの整数の一次結合で表します。その結果を利用して、一次不定方程式の特殊解を求めます。単に答えを書くのではなく、商、余り、逆向きの代入、係数を順番に記入できるようにすることが目的です。

教員は、使用する教科書や授業進度に合わせて数値、問題数、ヒントの量を調整します。配付前に、対象学年、実施日、提出の有無、解答の扱いを記入し、生徒が一人で取り組める指示になっているかを確認します。

関連語：個人情報、学習指導要領、著作権、合理的配慮

作るときのポイント#

1. 対象と到達点を明記します。 冒頭に【高校第○学年】、【実施日】、【使用場面】を示し、「最大公約数を求める」「一次結合を表す」「不定方程式の特殊解を一組求める」など、1枚で扱う学習目標を具体的に書きます。特殊解が複数存在する場合でも、このシートでは「一組を求める」と明確にします。

1. 計算の順序を固定します。 「大きい数＝小さい数×商＋余り」を使う欄、最大公約数を書く欄、逆向きに代入する欄、不定方程式の係数に対応させる欄を分けます。余りが0になった式を含めるかどうかも統一し、最後の0でない余りが最大公約数であることを示します。

1. 数値と解答を検算します。 各式について、割られる数、割る数、商、余りの関係を再計算します。一次結合は元の二数を代入して確かめ、不定方程式の特殊解は求めた整数を左辺に代入して右辺と一致するか確認します。負の係数や負の特殊解を誤答として扱わないよう、設問の指示を整えます。

1. 記入しやすい紙面にします。 途中式を書く横幅と行間を十分に取り、商・余り・最大公約数・係数を記入する場所を明示します。色だけで重要箇所を区別せず、太字、囲み、番号、下線などを併用します。ふりがなや用語の短い説明を添え、A4で印刷した際に数式や解答欄が次ページへ分断されないか確認します。

1. 授業運用と資料の扱いを確認します。 授業時間、提出方法、解答の配付時期、追試や補充時の使用方法を校内で確認します。教科書の問題を転載する場合は利用条件と出典を確認し、作成した数値問題には出典がないことを明示します。生徒名簿などの個人情報は載せず、印刷版と画面表示版の双方で崩れを点検します。

関連語：個人情報、学習指導要領、著作権、合理的配慮

例文（対象校種に合う架空校の場合）#

市立みどり台高等学校（架空）
数学科　整数の性質　計算シート
対象：【高校第○学年】　組：【　】　番号：【　】　氏名：【　　　　　　　　　】
実施日：【　　　　　　　　　】　提出：【する・しない】

【今日の目標】
1　ユークリッドの互除法で最大公約数を求める。
2　最大公約数を、二つの整数の一次結合で表す。
3　一次不定方程式の特殊解を一組求め、代入して確かめる。

【1　ユークリッドの互除法】
「大きい数＝小さい数×商＋余り」の形で計算します。
余りが0になるまで続け、最後の0でない余りを最大公約数とします。

見本　252と105の最大公約数
252＝105×2＋42
105＝42×2＋21
42＝21×2＋0

したがって、最大公約数は【　　　】です。

【2　最大公約数を求めよう】
(1) 252と105について、計算を完成させましょう。
252＝105×【　】＋【　】
105＝【　】×【　】＋【　】
【　】＝【　】×【　】＋0
最大公約数：【　　　】

(2) 391と299について、同じ方法で求めましょう。
391＝299×【　】＋【　】
299＝【　】×【　】＋【　】
【　】＝【　】×【　】＋0
最大公約数：【　　　】

【3　逆向きの代入で一次結合を表そう】
見本の252と105について、最後の0でない余りを、前の式を使って表します。

21＝105－42×2
　 ＝105－（252－105×2）×2
　 ＝【　】×105－【　】×252

したがって、
21＝【　】×252＋【　】×105
です。

【4　不定方程式の特殊解を求めよう】
252x＋105y＝21 の特殊解を一組求めます。
上の一次結合と係数を比べると、
x＝【　】、y＝【　】となります。

確認：
252×【　】＋105×【　】＝【　】
よって、求めた組はこの方程式を満たします。

【5　まとめの問題】
391x＋299y＝23 の特殊解を一組求めましょう。

(1) ユークリッドの互除法
391＝299×【　】＋【　】
299＝【　】×【　】＋【　】
【　】＝【　】×【　】＋0

(2) 逆向きの代入
23＝299－92×3
　 ＝299－（391－299）×3
　 ＝【　】×299－【　】×391
　 ＝【　】×391＋【　】×299

(3) 特殊解
x＝【　】、y＝【　】

(4) 代入による確認
391×【　】＋299×【　】＝【　】

【振り返り】
・最大公約数を求めるとき、余りはどのようになりますか。
【　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　】

・逆向きの代入で、特に注意したことは何ですか。
【　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　】

・今回、自分でできたことと、もう一度確認したいことを書きましょう。
【　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　】

【解答・教員用】
2(1) 252＝105×2＋42、105＝42×2＋21、42＝21×2＋0。
最大公約数は21です。
2(2) 391＝299×1＋92、299＝92×3＋23、92＝23×4＋0。
最大公約数は23です。
3　21＝5×105－2×252＝－2×252＋5×105です。
4　x＝－2、y＝5。252×(－2)＋105×5＝21です。
5　23＝4×299－3×391＝－3×391＋4×299。
したがって、x＝－3、y＝4です。
確認：391×(－3)＋299×4＝23です。

関連語：個人情報、学習指導要領、著作権、合理的配慮

良い文章の条件#

• 読み手を【高校第○学年】の生徒と明示し、教師が口頭で補足しなくても、「互除法→最大公約数→逆向きの代入→特殊解→検算」の順に取り組めます。
• 見本、課題、途中式の記入欄、解答、振り返りが混在せず、各段階で何を記入するかが「商」「余り」「係数」「\(x,y\)」など具体的に示されています。
• 使用教科書の「整数の性質」における定義・表記、学校で採用している数学用語、授業で扱った例題の進め方を確認し、「最大公約数」と「最後の0でない余り」を正しく対応させています。
• 252と105、391と299などの数値について、除法の各式、一次結合、不定方程式への代入を別々に検算し、商の書き落とし、符号の誤り、余りが割る数以上になる誤りを防いでいます。
• 特殊解を「一組」と表し、負の整数を含む解も扱えることを明記しています。生徒の途中式を根拠なく評価したり、AIに採点・合否・支援方針の最終判断をさせたりせず、教員が学習状況を確認します。
• 教科主任または数学科内で対象学年、実施時期、提出方法、解答配付の時期、教科書等の引用・転載条件を確認し、印刷時の改ページ、数式の欠落、画面表示の崩れ、個人情報の混入がないことを点検しています。

関連語：アクセシビリティ、著作権、個人情報、学習指導要領

AIに渡す情報（入力項目のチェックリスト）#

AIには、次の項目を整理して渡します。

• 対象学年と、整数の性質の学習段階
• 使う場面。授業、宿題、補充学習など
• 扱う内容。最大公約数、一次結合、特殊解など
• 問題数と、易しい問題から難しい問題への順序
• 使用する整数の組。正の整数か、負の整数を含むか
• 商と余り、逆代入、答えの記入欄の有無
• ヒントや解答欄を付けるかどうか
• A4片面などの用紙条件
• 数式の表記方法。通常の数式、LaTeX、プレーンテキストなど
• 生徒が自分で説明を書く欄の有無

問題作成では、実在の生徒名や学級名を入力しません。
学習状況を伝える場合は、「計算に不安がある生徒」などに置き換えます。
個別の誤答例も、個人を特定できない架空の例にします。

AIが作った数値、計算過程、解答は必ず教職員が確認します。
問題の難易度や授業への適合も、教職員が最終判断します。

関連語：匿名化、個人情報、著作権、学習指導要領

コピーして使えるプロンプト#

高校数学「整数の性質」の計算シートを作成してください。

対象：【高校第○学年】
使用場面：【授業・宿題・補充学習など】
学習目標：【最大公約数を求める／一次結合を表す／不定方程式の特殊解を求める】
問題数：【○問】
難易度：【基礎・標準・発展】
用紙：【A4片面・A4両面など】
解答欄：【必要・不要】
ヒント：【必要・不要】

次の順序で構成してください。
1. 学習目標
2. ユークリッドの互除法の確認
3. 最大公約数を求める問題
4. 逆向きの代入で一次結合を表す問題
5. 不定方程式の特殊解を求める問題
6. 振り返り

「大きい数＝小さい数×商＋余り」の形を使ってください。
途中式を書き込める空欄を十分に設けてください。
解答は別に示し、計算過程も記載してください。
問題の数値と解答を複数回検算してください。
個人情報は使わず、実在の人物や学校を想定しないでください。


【この文書に必要な良い文章の条件】
- 読み手を【高校第○学年】の生徒と明示し、教師が口頭で補足しなくても、「互除法→最大公約数→逆向きの代入→特殊解→検算」の順に取り組めます。
- 見本、課題、途中式の記入欄、解答、振り返りが混在せず、各段階で何を記入するかが「商」「余り」「係数」「\(x,y\)」など具体的に示されています。
- 使用教科書の「整数の性質」における定義・表記、学校で採用している数学用語、授業で扱った例題の進め方を確認し、「最大公約数」と「最後の0でない余り」を正しく対応させています。
- 252と105、391と299などの数値について、除法の各式、一次結合、不定方程式への代入を別々に検算し、商の書き落とし、符号の誤り、余りが割る数以上になる誤りを防いでいます。
- 特殊解を「一組」と表し、負の整数を含む解も扱えることを明記しています。生徒の途中式を根拠なく評価したり、AIに採点・合否・支援方針の最終判断をさせたりせず、教員が学習状況を確認します。
- 教科主任または数学科内で対象学年、実施時期、提出方法、解答配付の時期、教科書等の引用・転載条件を確認し、印刷時の改ページ、数式の欠落、画面表示の崩れ、個人情報の混入がないことを点検しています。

関連語：生成AI、個人情報、著作権、学習指導要領

出力フォーマット#

# 整数の性質　ユークリッドの互除法計算シート

## 1　今日の目標
- 最大公約数を互除法で求める。
- 最大公約数を一次結合で表す。
- 不定方程式の特殊解を一組求める。

## 2　確認
大きい数＝小さい数×商＋余り

## 3　最大公約数を求めよう
| 問題 | 割り算の式 | 次の割り算 | 最大公約数 |
|---|---|---|---|
| 1 |  |  |  |
| 2 |  |  |  |

## 4　逆向きに代入しよう
- 最大公約数 ＝
- ＝
- ＝

## 5　不定方程式に取り組もう
方程式：【　　　】
特殊解：x＝【　　　】、y＝【　　　】

## 6　振り返り
- できたこと：【　　　　　　　　　】
- 注意したこと：【　　　　　　　　　】

注意点（個人情報・著作権・確認）#

この計算シートには、通常、個人情報を記載しません。
氏名欄を設ける場合も、校内で必要な範囲にとどめます。
AIには、生徒の実名、出席番号、成績、診断名を入力しません。
学習上の配慮を伝える場合は、個人が特定されない表現にします。

数値問題は、最大公約数と解答が正しいか確認します。
不定方程式では、特殊解を元の式に代入して検算します。
「最大公約数が右辺を割り切る」という条件も確認します。
負の数を含む場合は、符号と割り算の表記を統一します。

AIが作成した解答を、そのまま生徒に配付してはいけません。
教職員が学習目標、難易度、表現、誤記を確認します。
合理的配慮が必要な生徒には、文字の大きさや記入欄を調整します。

図や説明を他の教材から転用する場合は、著作権を確認します。
教科書の問題文や解説を大量に転載せず、必要なら自作します。
所属する学校の教材利用に関する規程も確認します。

関連語：個人情報、著作権、合理的配慮、学習指導要領

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関連語：個人情報、著作権、学習指導要領、合理的配慮

参考資料#

• 高等学校学習指導要領↗
• 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編↗
• 所属する自治体・学校の教材利用に関する規程・様式