高校数学I「2次関数とグラフ・最大最小」指導案

高校数学Iで、文字定数を含む2次関数の最大値・最小値を扱う指導案です。学校においては、この内容を授業づくり、単元計画、学習活動の設計の場面で活用し、児童生徒・保護者・教職員に必要な情報や判断材料を分かりやすく示します。教職員は、対象者、目的、実施時期、校内手続を確認し、事実と提案を区別して、学校の実態に合う内容へ整えます。

定義域と軸の位置に着目し、グラフを用いて場合分けする授業の組み立て方が分かります。

この文書の目的と使う場面#

この指導案は、高等学校数学科の教員が、数学I「2次関数」の授業を計画・実施・改善するために使用します。主な使用者は、授業担当者、数学科主任、教科会の構成員です。必要に応じて、学年主任や管理職が単元計画、公開授業、校内研修の確認資料として参照します。

授業実施前には、対象学年の既習事項、生徒の理解状況、使用教科書、年間指導計画、授業時間、ICT機器の利用条件を確認し、本時の目標と活動を調整します。授業中は、定義域と放物線の軸の位置を関連付けて考えさせ、文字定数の範囲によって最大値・最小値が変わる理由を、生徒がグラフや式で説明できるようにします。授業後は、生徒のノート、発言、ワークシート、振り返りをもとに、場合分けの境目や端点の比較で生じた誤りを確認し、次時の補充や指導案の改善に生かします。

保護者や他の教職員に授業のねらいを説明する場合には、成績を決定する資料ではなく、学習内容、活動、評価の観点を共有する資料として扱います。

関連語：単元計画、学習指導要領、生成AI、年間指導計画

作るときのポイント#

1. 関数・定義域・文字定数の範囲を固定して示します。
   例えば、\(f(x)=x^2-2ax\)、\(0\leq x\leq2\)、\(-1\leq a\leq3\)のように、変数\(x\)と文字定数\(a\)の役割を明確にします。教科書や年間指導計画と異なる設定を用いる場合は、採用理由を記録します。

1. 軸の位置と端点の比較を中心に活動を組み立てます。
   平方完成して軸\(x=a\)を確認し、軸が定義域の左側、内部、右側にある場合を図で比較させます。最大値では端点の値を比較する必要があるため、\(f(0)\)と\(f(2)\)などを実際に計算させます。

1. 場合分けの境目を、式とグラフの両方で扱います。
   端点の値が等しくなる条件、軸が端点に一致する条件を求め、境目を含むかどうかを確認します。境目では最大値・最小値の位置が重なる場合があるため、等号の扱いを曖昧にしません。

1. 誤答を予想し、対話と支援を準備します。
   「頂点の値が常に最大値になる」「定義域を見ずに軸だけで判断する」「端点を一方しか比較しない」といった誤りを想定します。数値例、グラフへの印付け、端点の代入表などを用い、生徒自身が誤りの理由を説明できるようにします。

1. 評価は判断材料として具体的な姿で記述します。
   「軸の位置に応じて場合分けを説明している」「端点の値を比較している」「式とグラフを関連付けている」など、ノート、発言、ワークシートで確認できる姿にします。最終的な評価や成績は、教員が学校の評価方針と授業記録を踏まえて判断します。

関連語：学習指導要領、生成AI、年間指導計画、個人情報

例文（対象校種に合う架空校の場合）#

学校名：架空県立青葉高等学校
教科・科目：数学・数学I
対象：第【学年】学年【学級】
実施日：【実施日】
授業時間：【授業時間】
単元：2次関数のグラフと最大・最小
本時の題材：文字定数を含む2次関数の最大値・最小値

本時の目標：
生徒が、f(x)=x^2-2ax（0≦x≦2、−1≦a≦3）について、平方完成から軸x=aを求め、軸の位置と定義域の関係に着目して最大値・最小値を場合分けする。また、端点の値を比較し、場合分けの理由を式またはグラフを用いて説明する。

既習事項：
平方完成、2次関数の軸と頂点、放物線の開き、定義域がある場合の最大値・最小値。

教材・準備：
教科書【教科書名】、ワークシート、座標平面を記した用紙、ホワイトボードまたは提示装置、必要に応じてグラフ作成用ICT。使用する資料と教科書の記述は、授業前に教科担当者が確認する。

学習課題：
「軸x=aの位置によって、定義域0≦x≦2における最大値・最小値はどのように変わるか。」

授業展開（50分の例）：
1　導入（5分）
教師は、a=1、a=3のグラフを提示し、「頂点の値がいつでも最大値・最小値になるか」と問いかける。生徒は定義域内にある部分だけを見て、予想を記入する。

2　個人思考（10分）
生徒はf(x)=x^2−2ax=(x−a)^2−a^2から軸x=aを確認する。aの値によって軸が定義域の左側、内部、右側に移動することを図に表す。教師は、軸の位置を一つの数値例だけで判断していないかを確認する。

3　協働的な検討（12分）
ペアまたは小グループで、次を検討する。
・最小値は、−1≦a≦0、0≦a≦2、2≦a≦3でどのように変わるか。
・最大値は、f(0)=0とf(2)=4−4aを比較すると、どこで場合が変わるか。
・場合分けの境目で等号をどちらに含めるか。
必要に応じて、軸の位置を数直線に示し、端点の値を表にする。

4　全体共有（13分）
各グループが根拠を示して説明する。教師は次の整理を行う。
最小値：
−1≦a≦0ではx=0で0、
0≦a≦2ではx=aで−a^2、
2≦a≦3ではx=2で4−4a。
最大値：
f(0)=0、f(2)=4−4aを比較し、a≦1ではx=2で4−4a、a≧1ではx=0で0。a=1では両端で最大値0となる。
なお、境目の表し方は、重複を避ける書き方を含めて確認する。

5　まとめ（5分）
生徒は、「上に開く放物線では、軸が定義域内にあれば頂点が最小値となる。最大値は端点を比較する」など、本時の判断手順を自分の言葉でまとめる。教師は、定義域外の頂点をそのまま採用しないことを確認する。

6　振り返り（5分）
生徒は、①軸の位置、②端点の比較、③場合分けの境目のうち、理解できた点と確認したい点を記入する。教師は記述を次時の補充指導の資料とする。

予想される誤答と支援：
「頂点が最大値」とする場合は、上に開くグラフの特徴と定義域を問い返す。「最小値は常に−a^2」とする場合は、a<0またはa>2のとき軸が定義域外であることを図示させる。「最大値は一方の端点だけ」とする場合は、両端点の値を同じ表に記入させる。計算や等号の扱いに不明点がある場合は「要確認」と記録し、教科担当者が再計算する。

評価の観点（教員が判断する材料）：
知識・技能：平方完成、軸、端点の値を正しく扱っている。
思考・判断・表現：軸の位置と定義域を関連付け、場合分けの理由を説明している。
主体的に学習に取り組む態度：他者の説明を聞き、グラフや式を修正しながら考えを深めている。

関連語：評価規準、学習指導要領、生成AI、年間指導計画

良い文章の条件#

• 読み手である数学I担当教員が、関数、定義域、文字定数の範囲、既習事項を読み取っただけで、授業準備に移れる記述になっている。
• 導入から振り返りまでの時間配分、教師の発問、生徒の個人思考・協働的検討・全体共有が対応し、本時の目標に向かって展開している。
• 学習指導要領、年間指導計画、使用教科書の「2次関数」「最大・最小」の扱いと整合し、引用した図や資料がある場合は出典と利用条件を確認している。
• 軸が定義域内にあるか、端点の値を比較しているか、文字定数の境目に等号を付けているかを確認できる。特に、頂点を常に最大値とする誤りや、端点を一つしか調べない誤りを扱っている。
• 評価規準は生徒のノート、発言、ワークシート、振り返りで確認できる姿として書かれ、AIや指導案だけが評価・成績・合否を決定する表現になっていない。
• 実施前に数学科内または授業者・教科主任が計算過程、教材、ICTの動作、校内の授業実施手続を確認し、実施後は生徒の誤答と授業記録を基に、場合分けの説明や支援の改善点を追記できる。

関連語：学習指導要領、生成AI、年間指導計画、個人情報

AIに渡す情報（入力項目のチェックリスト）#

次の項目を整理してから、生成AIに入力します。

• 学年、科目、単元名、本時の位置
• 授業時間、授業形態、使用する教材
• 既習事項と、生徒がつまずきやすい内容
• 扱う関数の式、定義域、文字定数の範囲
• 本時の目標と、育てたい数学的な見方・考え方
• 導入、個人思考、協働的な検討、まとめの時間配分
• 板書、ICT、グラフ作成ソフトの使用予定
• 評価する観点と、生徒に求める説明や記述
• 特別な配慮を要する生徒への授業上の配慮

学校名は「みらい高等学校」、教員名は「○○先生」と置き換えます。
生徒名、出席番号、成績、診断名、家庭状況は入力しません。
学級の人数も、必要がなければ概数や「1学級」と表します。

個別の実態を示すときは、「生徒A」のような仮名を使います。
出力は教員が教材、計算、時間配分、教育課程との整合性を確認します。

関連語：匿名化、合理的配慮、学習指導要領、個人情報

コピーして使えるプロンプト#

高校数学I「2次関数とグラフ・最大最小」の指導案を作成してください。

【学校種・学年】高等学校【学年】
【授業時間】1時間【授業時数】
【単元の位置】2次関数のグラフと最大・最小
【扱う関数】f(x)=【関数の式】
【定義域】【xの範囲】
【文字定数の範囲】【文字定数の範囲】
【既習事項】平方完成、軸と頂点、2次関数のグラフ
【本時の目標】グラフと定義域の関係から、最大・最小を場合分けして説明する
【生徒の実態】【つまずきやすい点】
【授業形態】個人思考、ペアまたは小グループ、全体共有
【ICT・教材】【使用する教材】
【評価の観点】知識・技能、思考・判断・表現、主体的に学習に取り組む態度
【配慮事項】【必要な配慮】

導入、学習課題、個人思考、協働的な検討、全体共有、まとめ、
振り返りの順に、時間配分を付けて作成してください。
場合分けの境目、端点の比較、誤答例と支援の手立ても示してください。
計算過程を確認し、曖昧な点は「要確認」と表示してください。
生徒の評価や成績を決定せず、教員が判断する材料として記述してください。


【この文書に必要な良い文章の条件】
- 読み手である数学I担当教員が、関数、定義域、文字定数の範囲、既習事項を読み取っただけで、授業準備に移れる記述になっている。
- 導入から振り返りまでの時間配分、教師の発問、生徒の個人思考・協働的検討・全体共有が対応し、本時の目標に向かって展開している。
- 学習指導要領、年間指導計画、使用教科書の「2次関数」「最大・最小」の扱いと整合し、引用した図や資料がある場合は出典と利用条件を確認している。
- 軸が定義域内にあるか、端点の値を比較しているか、文字定数の境目に等号を付けているかを確認できる。特に、頂点を常に最大値とする誤りや、端点を一つしか調べない誤りを扱っている。
- 評価規準は生徒のノート、発言、ワークシート、振り返りで確認できる姿として書かれ、AIや指導案だけが評価・成績・合否を決定する表現になっていない。
- 実施前に数学科内または授業者・教科主任が計算過程、教材、ICTの動作、校内の授業実施手続を確認し、実施後は生徒の誤答と授業記録を基に、場合分けの説明や支援の改善点を追記できる。

出力フォーマット#

注意点（個人情報・著作権・確認）#

生徒の実名、成績、出欠、健康情報、家庭状況は生成AIに入力しません。
個別の支援が必要な場合も、「生徒A」などに置き換えて記載します。

教科書の本文、図、問題をそのまま入力しないようにします。
必要な内容は、出典や利用許諾を確認し、要点を自分の言葉で整理します。
生成AIが作った問題文や図が、既存教材と酷似していないかも確認します。

数学の式、定義域、場合分け、端点の比較は必ず再計算します。
AIは誤った式変形や、不適切な評価規準を出力することがあります。

本時の内容が学習指導要領や学校の年間指導計画に合うか確認します。
授業時間、クラスの実態、ICT環境、校内様式への適合も教員が判断します。
生徒の評価、成績、進路に関する判断をAIに任せてはいけません。

関連語：個人情報、著作権、学習指導要領、生成AI

関連する文書#

• 0124 中学校数学「一次関数・変化の割合」指導案：関数の見方を確認する前段の授業設計に役立ちます。
• 0145 高校数学A「場合の数と確率・条件付き確率」指導案：場合分けを用いた数学的説明の構成を参考にできます。
• 0146 高校数学II「微分・積分の基礎と応用」指導案：関数の最大・最小を発展的に扱う授業と関連します。
• 0187 高校共通テスト対策「思考力・融合問題」指導案：グラフや条件を読み取る問題の授業設計に活用できます。

関連語：学習指導要領、個人情報、生成AI、著作権

参考資料#

• 高等学校学習指導要領（平成30年告示）↗
• 高等学校学習指導要領（平成30年告示）解説 数学編 理数編↗
• 所属する自治体・学校の規程・様式